Площадь круга: формула, примеры решения задач

Площадь круга можно посчитать несколькими способами: по радиусу или диаметру. А еще пригодятся число пи и даже умение мастерить деревянные модели. 

Расскажем, как ее вычислить, и приведем формулы, чтобы вы разобрались во всех хитросплетениях геометрии на уровне средней школы.

В этой статье:

Определим понятия

Начнем с азов: окружность — это замкнутая линия; круг — часть плоскости, ограниченная этой линией. Если нарисованную на бумаге окружность заштриховать, то кругом окажется все, что находится внутри нее. 

Для решения задачек нам понадобятся также радиус, диаметр и длина окружности.

Радиус соединяет центр круга и любую точку на его окружности. 

Диаметр — линия, которая проходит ровно посередине круга и делит его на две равные части. Состоит из двух радиусов. 

Чтобы понять, что такое длина окружности, представьте, что она сделана из нитки. Нить мы разрезали, вытянули и измерили. То, что получилось, и есть длина окружности. 

Еще нам пригодится число π (пи). Оно выражает отношение длины окружности к ее диаметру. Эта величина постоянная, и ее надо просто запомнить: π = 3,1415926535… В расчетах пи, как правило, округляют до 3,14.

Как найти площадь круга

Существует несколько формул, как вычислить площадь круга. Приведем самые популярные: через радиус, диаметр и длину окружности.

Через радиус

Пожалуй, это самый простой и распространенный метод.

Если известен радиус, площадь круга считаем по формуле: S=πr² (где S — площадь круга, r — радиус).

Через диаметр

Способ, похожий на предыдущий. Мы уже знаем, что радиус равен половине диаметра.

Если известен диаметр, формула выглядит так: S=¼πd² (где d — диаметр).

Через длину окружности

Если известна длина окружности, расчеты такие: S=C² / 4π (где C — длина окружности).

Примеры задач и решения

Потренируемся?

Задача 1

Условия: радиус окружности — 14 см. Рассчитайте площадь круга.

Решение: используем нашу первую формулу — S=πr². 

S = π × 142 = 3,14 × 196 = 615,44

Ответ: 615,44 см². 

Задача 2

Условия: определите площадь круга, если диаметр окружности — 12 м.

Решение: потренируем вторую формулу — S=¼πd². 

S = π / 4 × 122 = 3,14 / 4 × 144 = 0,785 × 144 = 113,04

Ответ: 113,04 м².

Задача 3

Условия: вычислите площадь круга, если длина его окружности — 28 см.

Решение: этот пример для закрепления третьей формулы — S=C² / 4π. 

S = 28² / 4π = 28 × 28 / 4 × 3,14 = 784 / 12,56 = 62,4203822

Ответ: округлим до 62,42 см².

Получилось? Теперь задачи поинтереснее и посложнее. Возьмем пример из каталога заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, опубликованный на платформе «Школково».

Задача 4

Условия: есть две окружности,  внутри большей находится меньшая, причем радиус последней в 2,5 раза меньше радиуса первой. 

Определите отношение площади области U, окрашенной зеленым цветом, к площади большого круга.

Решение: радиус меньшей окружности примем за r, тогда радиус большей будет равен 2,5 × r.

Воспользуемся первой формулой: S=πr².

Площадь меньшего круга равна πr2, а площадь большего рассчитываем так:

π × (2,5r)² = 6,25πr²

Площадь выделенной области U — это разность площадей двух кругов: большего и меньшего. То есть:

6,25πr² − πr² = 5,25πr²

Итак, значение искомых площадей мы теперь знаем. А их отношение будет следующим:

5,25πr² / 6,25πr² = 0,84

Ответ: 0,84.

Задача 5

А эта задача из учебника М. А. Волчкевича.

Условия: на круглом столе радиуса 25 лежат 156 монет радиуса 1. Монеты не касаются друг друга. Всегда ли на этот стол можно положить еще одну такую же монету так, чтобы она не коснулась других?

Решение: построим 156 кругов радиуса 2, центры которых совпадают с центрами монет на столе. Сумма их площадей равна 156 × π × 2² = 624π. 

Площадь же всего стола равна π × 25² = 625π. Значит, сумма площадей построенных кругов меньше площади стола, и они не могут полностью покрыть все его точки.

Возьмем точку А на столе, которую не покрывает ни один из кругов радиуса 2. Расстояние от нее до центра любого из них больше 2. 

Положим на стол еще одну монету радиусом 1 так, чтобы ее центр совпадал с точкой А. Тогда она не будет касаться ни одной из других монет, лежащих на столе. Значит, на стол всегда можно положить еще одну монету.

Ответ: всегда можно.

Вошли во вкус? Вот еще несколько ресурсов, где можно потренироваться:

• интернет-проект «Задачи»;
• задачник кружков Московского центра непрерывного математического образования;
• задачи кружков механико-математического факультета МГУ;
• «Сириус.Курсы».

Существует также множество приложений для решения примеров по математике. У некоторых программ есть платные версии. Оплачивать подписки ваш ребенок может самостоятельно — с помощью Халвенка.

Математический этюд

Тем, кому сложно даются абстракции, «Математические этюды» предлагают сделать модель и таким образом высчитать, чему равна площадь круга.  

Такой подход поможет развить образное мышление у ребенка и заинтересовать его. А то, что вы будете мастерить модели вместе, станет отличным досугом.

Вся информация о ценах, партнерах и тарифах актуальна на момент публикации статьи.

Действующие магазины-партнеры Халвы