Числа Фибоначчи: последовательность, почему так популярны и где используются

Люди любят порядок. Речь вовсе не о том, насколько аккуратно сложены вещи на полках в шкафу, а о желании человека найти логику во всех процессах, которые его окружают. Разветвляющиеся деревья, формы галактик, узор снежинки, витки раковины, закрученной в спираль, — все это укладывается в закономерность, известную как числа Фибоначчи. Давайте разбираться, что это такое и где встречается эта последовательность.

В статье расскажем:

Числа Фибоначчи: что это такое, история возникновения

0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и так далее. Как только поймете, что такое числа Фибоначчи, легко продолжите ряд. Это числовой ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих. Как ясно из названия, его открыл Фибоначчи — итальянский ученый по имени Леонардо Пизанский. Фибоначчи — скорее всего, «отчество», если перевести с итальянского «filius Bonacci».

Средневековый математик жил в городе Пизе в XII веке. Знаменитый порядок имени себя открыл, пытаясь решить задачу о кроликах: сколько пар кроликов родится за год от одной пары, если от каждой получается одна пара в месяц. При условии, что кролики водятся в идеальном мире, где никто не умирает, и каждая пара исправно рождает в месяц двух детенышей, которые способны размножаться так же регулярно.

Эту последовательность он описал в «Книге об абаке». Абак — это древняя счетная доска с передвижными костяшками или камешками. Ее применяли при подсчетах еще в Древнем Вавилоне в III веке до н. э. В своем труде Леонардо Пизанский собрал все средневековые знания об арифметике и алгебре.

Свойства чисел Фибоначчи

Удивительные свойства ряда вызывают интерес математиков до сих пор. Ученые находят все новые закономерности в этой, казалось бы, простой цепочке. Так, недавно открыли, что последние цифры чисел повторяются с определенной периодичностью, алгоритм которой пока не удалось вычислить.

Главная особенность числового ряда — отношение каждого члена к предыдущему равно 1,6. То есть если взять два соседних числа и разделить большее на меньшее, получится 1,61. А если разделить меньшее число на большее — получается 0,6. Проверьте и убедитесь.

Показатель 1,6 обозначают буквой φ (фи). Но у него много других, более поэтичных названий: золотое сечение (его придумал Пифагор), число Бога, божественная симметрия.

Золотое сечение: что это и где встречается

Это принцип гармонии, основанный на математике.  

Кстати, кредитные карты стандартного размера 85,6×53,98 мм вполне укладываются в принцип золотого сечения. 85,6/53,98=1,59.

В живописи

Эта закономерность легла в основу многих творений художников Возрождения, в частности тезки Фибоначчи — Леонардо да Винчи. Он применил теорию золотого сечения к пропорциям человеческого тела, создав «Витрувианского человека».

Лицо Моны Лизы тоже близко к идеалу, но портрет Мэрилин Монро кисти Энди Уорхола — абсолютно точно вписывается в строгие рамки золотых пропорций. У актрисы то самое соотношение 1,62 имеют:

• длина носа к его ширине;
• длина всей брови к ее длине до изгиба;
• длина рта к ширине носа.

Кроме того у уорхолловской Мэрилин одинаковое расстояние между линиями лба, бровей, носа и подбородка, А точки, отмечающие внешние уголки глаз и нижнюю точку губы, образуют равносторонний треугольник.

Художники разных эпох следовали этим канонам. Знаменитые «Девушка с жемчужной сережкой» Вермеера (1665 год), «Олимпия» Мане (1863 год), «Рождение Венеры» Сандро Боттичелли (1468 год) — картины, в которых параметры персонажей и композиция близки к эталонам гармонии.

В архитектуре

Древние египтяне не знали о числах Фибоначчи, но их пирамида Хеопса, построенная 4500 лет назад, близка этим канонам: соотношение высоты к ширине основания равно 1,57. Многие древнегреческие сооружения, в частности Парфенон, акведуки, и более поздние строения, например Сикстинская капелла, соответствуют правилам золотого сечения.

Музей современного искусства имени Соломона Гуггенхайма в Нью-Йорке (построен в 1937 году) архитектора Фрэнка Ллойда Райта имеет форму опрокинутой спирали. Надо ли говорить, чему равно отношение большего завитка к меньшему? Спойлер: 1,6.

Другой пример — школа имени Хайнца Галински в Берлине (1995 год). Архитектор Цви Хекер вдохновился спиралевидным рисунком цветка подсолнечника. Помещения расположены так, что солнце освещает в течение дня все классы по очереди.

Реформатор архитектуры Ле Корбюзье начал разрабатывать концепцию «Модулора» (система гармонических пропорций) в 1947 году. В ней отчетливо прослеживается связь с принципами золотого сечения, а отношение элементов друг к другу равно числу φ.

В литературе

В прозе по правилам идеальной гармонии строится композиция произведений. Проще говоря, кульминация — самая напряженная по накалу сцена — находится ближе к последней трети, когда читатель преодолел 62% объема текста. Это наиболее заметно в рассказах или повестях.

В стихах, где четкий ритм, чередование ударных и безударных гласных играют особую роль, золотое сечение работает особенно ярко. Например, пушкинское заключительное объяснение Онегина с Татьяной находится в точке золотого сечения, деля главу на две части, соотношение которых по длине — 1,6.

В музыке

Музыка строится по строгим канонам композиции и гармонии. И классические произведения, и современные треки отвечают правилу золотого сечения. Кульминационный момент отстоит на 62% от начала — здесь он идеально подготовлен всем, что происходило раньше, и слушатель ожидает развязки уже на интуитивном уровне.

Искусствовед Л. Л. Сабанеев исследовал больше полутора тысяч произведений классических композиторов. По приверженности числу Фибоначчи лидируют Бетховен и Гайдн — 97% их исследованных сочинений содержат хотя бы одно золотое сечение. Меньше всего процент таких композиций у советского симфониста Н. Мясковского — 10%.

Числа Фибоначчи в природе

Одним из первых обратил внимание на то, что природные явления связаны с рядом Фибоначчи, немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер. Он установил, что многие виды растений, в частности ромашки, подсолнухи, деревья, можно описать с помощью числовой последовательности и золотого сечения.

Пример — растения, чьи листья располагаются на побеге спирально. У орешника и бука поворот от листа к листу равен 120°, то есть 1/3 от полной окружности, у дуба — 144°, это 3/5 от 360°. Завитки спиралей семечек подсолнуха, сосновых шишек, ананаса, раковин-наутилусов и улиток тоже вписываются в эту закономерность.

Сферы применения

Природа, сама того не зная, опирается на числовую последовательность для достижения гармонии: организмы благодаря такому строению получают достаточное количество света и питания для жизни. А человечество создало культуру, главным кодом которой стало золотое сечение. Но кроме искусства и науки каноны находят свое подтверждение в бизнесе, трейдинге и программировании.

О том, как выбрать востребованную профессию в IT-сфере и не только, рассказали в статье.

Бизнес

Исследования показали, что в основе стабильного бизнеса лежат все те же значения Фибоначчи. Так, в финансовом секторе:

• норматив ликвидности, который банки изучают перед тем, как одобрить кредит компании, колеблется от 0,6 до 0,8;
• финансовый рычаг (один из показателей стабильности предприятия) от 1,6 до 2 считается нормой;
• оптимальная схема затрат компании — 20% административные расходы, 30% — расходы на реализацию, 50% — производственная себестоимость.

Компании, которые внедряют в менеджмент управления технологии золотого сечения, лучше адаптируются к неблагоприятным условиям, экономят на затратах и увеличивают скорость оборота активов.

Трейдинг

Анализируя графики, трейдеры прогнозируют колебания цен на рынке ценных бумаг. Американский финансист Ральф Hельсон Эллиотт выявил в движении фондового рынка закономерности, связанные с числами Фибоначчи. Биржевые аналитики активно используют следующие четыре техники, названные именем итальянского ученого:

1. Коррекция Фибоначчи.
2. Дуги.
3. Временные зоны.
4. Веера.

Кроме них, существуют: клин, канал, спираль, тоже названные в честь Леонардо Пизанского. Они помогают анализировать поведение цен на бирже.

Попробуйте изучить рынок с мобильным приложением карты «Халва». Откройте индивидуальный инвестиционный счет, с которым можно не только заработать, но и получать налоговые льготы.

Программирование и криптография

Программисты используют числа Фибоначчи для создания алгоритмов поиска, оптимизации производительности, сжатия данных. С их помощью выстраивают ряды псевдослучайных чисел для ключей шифрования. Их включают в криптопротоколы, чтобы обеспечить безопасность данных и аутентификацию пользователей.

В машинном обучении и анализе данных последовательность помогает моделировать временные ряды и делать прогнозы на будущее (например, разрабатывать алгоритмы торговли, предсказывать взлеты и падения рынка, оценивать риски и доходность).

Противники концепции золотого сечения

Факт: большинство дизайнеров, фотографов, кинематографистов работают, исходя из принципов идеальной пропорции. Логотипы таких успешных компаний, как Apple, Pepsi, Toyota, разработаны на их основе. Золотое сечение используют в веб-дизайне и многих других отраслях.

Но существует мнение, что все описанные формулы и расчеты  притянуты за уши, иначе говоря — адепты божественной гармонии увидели каноны там, где их нет и в помине. Один из таких скептиков — Кит Дэвлин, математик, писатель, профессор Стэнфорда. Поставив цель опровергнуть мнение, что именно пропорции 1,6 приятны взгляду, он много лет показывал студентам разные прямоугольники и выяснил, что большинство выбирает фигуру не с каноническим соотношением сторон.

Ирландский нейробиолог Эмиль Тимердинг с командой выявил, что на обработку изображений, соответствующих нормам золотого сечения, мозг тратит больше ресурсов и времени. Это значит, что они не доставляют зрителям удовольствия.

Кит Девлин объяснял популярность теории золотого сечения тем, что людям нравится упорядоченность, повторяемость и шаблоны. Эта способность обобщать и находить логику в окружающем мире стала основой всех наук и культуры: религии, медицины, искусства.

Как бы то ни было, числовой ряд Фибоначчи — простой, но универсальный математический концепт, который применяют во многих областях человеческой деятельности: науке, экономике, программировании. Кроме того, каждый из нас несет этот код в себе: молекула ДНК — это две сплетенные спирали. Длина каждой — 34 ангстрема, ширина 21 ангстрем (1 ангстрем — одна стомиллионная доля сантиметра). 21 и 34 — соседние числа из последовательности, которую вычислил итальянский математик.

Вся информация о ценах, партнерах и тарифах актуальна на момент публикации статьи.

Действующие магазины-партнеры Халвы